NEW YORK - Obwohl es seit mehr als 2.000 Jahren existiert, hat sich das Konzept der Unendlichkeit als rätselhafte und oft herausfordernde Idee für Mathematiker, Physiker und Philosophen bewährt. Existiert die Unendlichkeit wirklich oder ist sie nur ein Teil des Stoffes unserer Vorstellungskraft?
Eine Gruppe von Wissenschaftlern und Mathematikern versammelte sich hier, um am Freitag (31. Mai) im Rahmen des World Science Festival, einer jährlichen Feier und Erforschung der Wissenschaft, einige der tiefgreifenden Fragen und Kontroversen rund um das Konzept der Unendlichkeit zu erörtern.
Ein Teil der Schwierigkeit bei dem Versuch, einige der abstrakten Fragen im Zusammenhang mit der Unendlichkeit zu lösen, besteht darin, dass diese Probleme über die etablierteren mathematischen Theorien hinausgehen, sagte William Hugh Woodin, Mathematiker an der University of California in Berkeley.
"Es ist so, als würde die Mathematik auf einer stabilen Insel leben - wir haben ihnen ein solides Fundament geschaffen", sagte Woodin. "Dann gibt es da draußen das wilde Land. Das ist unendlich."
Wo alles begann
Ein Philosoph namens Zeno von Elea, der ab 490 v. Chr. Lebte. bis 430 v. Chr. wird die Einführung der Idee der Unendlichkeit zugeschrieben.
Das Konzept wurde von alten Philosophen untersucht, darunter Aristoteles, der in Frage stellte, ob es in einer scheinbar endlichen physischen Welt Unendlichkeiten geben könnte, sagte Philip Clayton, Dekan der Claremont School of Theology an der Claremont Lincoln University in Claremont, Kalifornien. Theologen, darunter Thomas von Aquin, benutzte das Unendliche, um die Beziehung zwischen Menschen, Gott und der natürlichen Welt zu erklären.
In den 1870er Jahren leistete ein deutscher Mathematiker namens Georg Cantor Pionierarbeit auf einem Gebiet, das als Mengenlehre bekannt wurde. Nach der Mengenlehre bilden Ganzzahlen, bei denen es sich um Zahlen ohne Bruch oder Dezimalkomponente handelt (z. B. 1, 5, -4), eine unendliche Menge, die zählbar ist. Andererseits sind reelle Zahlen, die ganze Zahlen, Brüche und sogenannte irrationale Zahlen wie die Quadratwurzel von 2 enthalten, Teil einer unendlichen Menge, die unzählbar ist.
Dies führte Cantor dazu, sich über verschiedene Arten von Unendlichkeit zu wundern.
"Wenn es jetzt zwei Arten von Unendlichkeit gibt - die zählbare Art und diese kontinuierliche Art, die größer ist - gibt es andere Unendlichkeiten? Gibt es eine Unendlichkeit, die zwischen ihnen eingeklemmt ist?" sagte Steven Strogatz, ein Mathematiker an der Cornell University in Ithaca, NY.
Cantor glaubte, dass es keine Unendlichkeiten zwischen den Mengen von ganzen Zahlen und reellen Zahlen gibt, aber er konnte es nie beweisen. Seine Aussage wurde jedoch als Kontinuumshypothese bekannt, und Mathematiker, die das Problem in Cantors Fußstapfen setzten, wurden als Mengen-Theoretiker bezeichnet.
Jenseits erforschen
Woodin ist ein Mengen-Theoretiker und hat sein Leben damit verbracht, die Kontinuumshypothese zu lösen. Bis heute konnten Mathematiker Cantors Postulation nicht beweisen oder widerlegen. Ein Teil des Problems ist, dass die Idee, dass es mehr als zwei Arten von Unendlichkeit gibt, so abstrakt ist, sagte Woodin.
"Es gibt keinen Satelliten, den man bauen kann, um die Kontinuumshypothese zu messen", erklärte er. "Es gibt nichts in unserer Welt um uns herum, das uns helfen könnte festzustellen, ob die Kontinuumshypothese wahr oder falsch ist, soweit wir wissen."
Noch schwieriger ist die Tatsache, dass einige Mathematiker die Relevanz dieser Art von mathematischer Arbeit abgelehnt haben.
"Diese Leute in der Mengenlehre empfinden uns selbst in der Mathematik als seltsam", scherzte Strogatz. Er sagte jedoch, er verstehe die Bedeutung der Arbeit von Mengen-Theoretikern, denn wenn sich die Kontinuumshypothese als falsch herausstellen würde, könnte sie grundlegende mathematische Prinzipien auf die gleiche Weise entwurzeln, wie eine widersprüchliche Zahlentheorie die Grundlagen für Mathematik und Physik auslöschen würde.
"Wir wissen, dass sie wirklich tiefe, wichtige Arbeit leisten, und im Prinzip ist es grundlegende Arbeit", erklärte Strogatz. "Sie schütteln die Fundamente, an denen wir alle arbeiten, im zweiten und dritten Stock. Wenn sie etwas durcheinander bringen, könnte es uns überall umkippen."
Die Zukunft der Mathematik
Trotz aller Unsicherheiten könnte die Arbeit der Mengen-Theoretiker positive Welligkeitseffekte haben, die dazu dienen, die Grundlagen der Mathematik zu stärken, sagte Woodin.
"Indem wir die Unendlichkeit untersuchen und soweit wir erfolgreich sein können, setzen wir uns für die Konsistenz der Arithmetik ein", erklärte er. "Das ist eine fanatische Aussage, aber wenn Unendlichkeit nicht zu einem Widerspruch führt, führt das Endliche sicherlich nicht zu einem Widerspruch. Wenn Sie also die äußeren Bereiche erkunden, um festzustellen, ob es einen Widerspruch gibt, gewinnen Sie etwas Sicherheit."
Die Paradoxien, die das Konzept der Unendlichkeit charakterisieren, lassen sich vielleicht am besten mit der Zahl pi erklären, sagte Strogatz. Pi, eine der bekanntesten mathematischen Konstanten, repräsentiert das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. Unter seinen unzähligen Anwendungen kann pi verwendet werden, um die Fläche eines Kreises zu finden.
"Pi ist typisch für reelle Zahlen ... da es diese unendliche Menge unvorhersehbarer Informationen enthält und gleichzeitig so vollständig vorhersehbar ist", sagte Strogatz. "Es gibt nichts Ordentlicheres als einen Kreis, den pi verkörpert - es ist das Symbol für Ordnung und Perfektion. Diese Koexistenz von perfekter Vorhersehbarkeit und Ordnung mit diesem verlockenden Geheimnis des unendlichen Rätsels, das in dasselbe Objekt eingebaut ist, ist Teil des Vergnügens von unser Thema und vermutlich die Unendlichkeit selbst. "
